TRẦN NAM DŨNG (Tổng Chủ biên)
TRẦN ĐỨC HUYÊN – NGUYỄN THÀNH ANH (đồng Chủ biên)
VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG – NGÔ HOÀNG LONG
PHẠM HOÀNG QUÂN – PHẠM THỊ THU THUỶ

TOÁN

12
8

TẬP HAI

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Mỗi bài học trong sách Toán 12 thường có các phần như sau:
Gợi mở, kết nối người học vào chủ đề bài học.
Hoạt động khởi động

Gợi ý để người học tìm ra kiến thức mới.
Hoạt động khám phá

Nội dung kiến thức cần lĩnh hội.
Kiến thức trọng tâm

Các bài tập cơ bản theo yêu cầu cần đạt.
Thực hành

Ứng dụng kiến thức để giải quyết vấn đề.
Vận dụng

Hãy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng các em học sinh lớp sau!

2

Lời nói đầu
Sách Toán 12 thuộc bộ sách giáo khoa Chân trời sáng tạo được biên soạn theo Chương trình
giáo dục phổ thông năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Cấu trúc sách Toán 12 được chia thành hai tập.
Tập hai bao gồm ba chương:
Chương IV: Nguyên hàm. Tích phân.
Chương V: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu.
Chương VI: Xác suất có điều kiện.
Đầu mỗi chương đều có nêu rõ các kiến thức cơ bản sẽ học và các yêu cầu cần đạt của chương.
Các bài học đều xây dựng theo tinh thần định hướng phát triển năng lực và thường được thống
nhất theo các bước: khởi động, khám phá, thực hành, vận dụng. Sách sẽ tạo nên một môi trường
học tập và giảng dạy tương tác tích cực nhằm đảm bảo tính dễ dạy, dễ học đồng thời hỗ trợ các
phương pháp giảng dạy hiệu quả.
Nội dung sách thể hiện tính tích hợp, gắn bó môn Toán với các môn học khác. Những hoạt động
trải nghiệm được tăng cường giúp người học có thêm cơ hội vận dụng Toán học vào thực tiễn,
đồng thời ứng dụng công nghệ thông tin vào việc học Toán.
Chúng tôi tin tưởng rằng với cách biên soạn này, sách giáo khoa Toán 12 sẽ hỗ trợ quý thầy,
cô giáo một cách tích cực và hiệu quả trong quá trình dạy học, đồng thời giúp các bạn học sinh
hứng thú hơn khi học tập bộ môn Toán.
Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn học sinh để sách được ngày càng
hoàn thiện hơn.
CÁC TÁC GIẢ

3

Mục lục

Trang

PHẦN MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH


CHƯƠNG IV. NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

5



Bài 1. Nguyên hàm

6



Bài 2. Tích phân

12



Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

21



Bài tập cuối chương IV

28

PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG


Chương V. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

31



Bài 1. Phương trình mặt phẳng

32



Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

43



Bài 3. Phương trình mặt cầu

62



Bài tập cuối chương V

67

PHẦN THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT


Chương VI. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

69



Bài 1. Xác suất có điều kiện

70



Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

76



Bài tập cuối chương VI

81

HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH VÀ TRẢI NGHIỆM


Bài 1. Tính giá trị gần đúng tích phân bằng máy tính cầm tay

83



Bài 2. Minh hoạ và tính tích phân bằng phần mềm GeoGebra

85



Bài 3. Sử dụng phần mềm GeoGebra để biểu diễn hình học toạ độ trong không gian

90

Bảng giải thích thuật ngữ

94

Bảng tra cứu từ ngữ

95

4

Phần MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH
Chương IV

NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

Nguyên hàm và tích phân là hai khái niệm toán học cho phép biểu thị và tính toán nhiều đại lượng khác nhau
xuất hiện trong khoa học và cuộc sống.
Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về hai khái niệm nói trên và một số tính chất cơ bản của chúng, vận dụng
chúng để giải một số bài toán thực tiễn liên quan đến những đại lượng quen thuộc như diện tích, thể tích, quãng đường
chuyển động, ….

Nếu biết tốc độ của xe trong quá trình chuyển động thì xác định được quãng đường đã đi được tại mọi thời điểm của
quá trình đó.

Học xong chương này, bạn có thể:
– Nhận biết được khái niệm và tính chất cơ bản của nguyên hàm.
– Xác định được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp; tính được nguyên hàm trong
những trường hợp đơn giản.
– Nhận biết được khái niệm và các tính chất của tích phân; tính được tích phân trong
những trường hợp đơn giản.
– Sử dụng được tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích hình khối và giải quyết
những bài toán liên quan đến thực tiễn.

5

Bài 1. Nguyên hàm


Từ khoá: Nguyên hàm.

Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi
với gia tốc không đổi a = 10 m/s2. Sau khi
rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu
và đi được quãng đường bao nhiêu?

1. Khái niệm nguyên hàm
1

Cho hàm số f (x) = 2x xác định trên R. Tìm một hàm số F(x) sao cho F '(x) = f (x).

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f (x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x)
trên K nếu F '(x) = f (x) với mọi x thuộc K.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
a) F(x) = 5x + x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 5 + 2x trên R.
1
  
b) G(x) = tanx là một nguyên hàm của hàm số g ( x) =
trên   ;  .
2
cos x
 2 2
Giải
a) Ta có F '(x) = (5x + x2)' = 5 + 2x = f (x) với mọi x thuộc R.
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R.
b) Ta có G '(x) = (tan x)' =

1
  
,=xg(x)
  với
 ;mọi .x thuộc
2
cos x
 2 2

  
  ; .
 2 2

  
Vậy G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên   ;  .
 2 2


2

Cho hàm số f (x) = 3x2 xác định trên R.
a) Chứng minh rằng F(x) = x3 là một nguyên hàm của f (x) trên R.

b) Với C là hằng số tuỳ ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f (x)
trên R không?
c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f (x) trên R. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x).
Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?
6

Tổng quát, ta có:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K. Khi đó:
• Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C là một nguyên hàm của f (x) trên K;
• Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho
G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một
hằng số. Ta gọi F(x) + C, C ∈  là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K, kí hiệu
∫ f ( x)dx và viết
 f ( x)dx  F ( x)  C.
Chú ý: Biểu thức f (x) dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f (x), kí hiệu là dF(x).
Vậy dF(x) = F '(x)dx = f (x) dx.
Ví dụ 2. Tìm:
a)

∫ x dx trên R;
2

b)

1

∫ sin

2

x

dx trên (0; π).

Giải

 x3 '
x3
a) Vì   = x2, với mọi x thuộc R nên F(x) =
là một nguyên hàm của x2 trên R.
3
3
 
Vậy

2
∫ x dx =

x3
+ C trên R.
3

b) Vì (– cot x)' =

1
,với mọi x thuộc (0; π) nên F(x) = – cot x là một nguyên hàm của
sin 2 x

1
trên (0; π). Vậy
sin 2 x

1

∫ sin

2

x

dx = – cot x + C trên (0; π).

Chú ý:
a) Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là
tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.
b) Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có

∫ f '( x) dx

= f (x) + C.

2x + 1
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2e2x + 1 trên R.
1 Chứng minh rằng F(x) = e

7

2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
a) Giải thích tại sao ∫ 0 dx = C và ∫ 1 dx = x + C.

3

b) Tìm đạo hàm của hàm số F ( x) 


Từ

x  1
(α ≠ –1). Từ đó, tìm
 1

x



dx.

3 , ta có:
•  0 dx  C;

•  1dx  x  C ; •


 x dx 

x  1
(α ≠ –1).
 1

Chú ý: Người ta thường viết ∫ dx thay cho ∫ 1 dx.
Ví dụ 3. Tìm:

a)

∫ x dx;

∫

1
dx.
x

b)



1
1

1
dx   x 2 dx  2 x 2  C  2 x  C .
x

b)

∫x

b)

6

Giải
a)

2

6
 x dx 

Tìm:

1 7
x + C;
7
a)

∫ x dx;



4

1
3

dx;

c)

∫

x dx.

1
x
Cho hàm số F(x) = ln |x| với x ≠ 0.

Nguyên hàm của hàm số y =



4
Từ

a) Tìm đạo hàm của F(x).

b) Từ đó, tìm

1

∫ x dx.

4 , ta có:
1

 x dx  ln x  C.
Ví dụ 4. Cho hàm số f (x) =

1
với x ≠ 0. Tìm nguyên hàm F (x) của f (x) thoả mãn F (–2) = 0.
x
Giải

Ta có

1

 x dx  ln x  C

nên F (x) = ln |x| + C (x ≠ 0).

Do F (–2) = 0 nên ln |–2| + C = 0 hay C = –ln 2.
Vậy F (x) = ln |x| – ln 2 (x ≠ 0).
8

Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sin x, y = –cos x, y = tan x, y = –cot x.

5

b) Từ đó, tìm ∫ cos x dx,


Từ

1

∫ sin x dx, ∫ cos

2

x

dx và

1

∫ sin

2

x

dx.

5 , ta có:



• ∫ cos x dx = sin x + C;



•

1

∫ cos

2

x

dx = tan x + C;





• ∫ sin x dx = – cos x + C;





•

1

∫ sin

2

x

dx = – cot x + C.

x
x
Ví dụ 5. Tìm ∫ 2 sin cos dx.
2
2
Giải
x
x
 2 sin 2 cos 2 dx   sin x dx   cos x  C.

Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos x thoả mãn F (0) + F   = 0.
3
2
Nguyên hàm của hàm số mũ
a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = ex, y =

6

ax
với a > 0, a ≠ 1.
ln a

x
x
b) Từ đó, tìm ∫ e dx và ∫ a dx (a > 0, a ≠ 1).


Từ


6 , ta có:
•  e dx  e  C ;
x

x

ax
(a > 0, a ≠ 1).
•  a dx 
ln a
x

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 2x thoả mãn F (0) = 1.
Giải
x
Ta có  2 dx 

x

x

2
2
 C nên F ( x) 
 C.
ln 2
ln 2

20
1
1
 C  1 hay C  1 
.
C 
Do F (0) = 1 nên
ln 2
ln 2
ln 2
Vậy F ( x) 

4

2x
1
1
.
ln 2
ln 2

x
Tìm: a) ∫ 3 dx;

2x
b) ∫ e dx.

9

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Nguyên hàm của tích một số với một hàm số
 x3  '
2
Ta có    x và (x3)' = 3x2.
7
 3

∫ x dx và 3∫ x dx.
b) Tìm ∫ 3 x dx.



a) Tìm



2

2

2

2
2
c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao  3 x dx  3 x dx.



Trong trường hợp tổng quát, ta có:

 k f ( x)dx  k  f ( x)dx, với k ∈ , k ≠ 0.



Ví dụ 7. Tìm:
a)

2 sin x
∫ 3 dx;



b)

3x 1
 2 dx.

Giải
a)



2 sin x
2
2
dx   sin xdx   cos x  C ;
3
3
3

3x 1
1 3x
1 x
3x
dx   dx   3 dx 
 C.
b) 
2
2 3
6
6 ln 3
 cos x 

Tìm: a)
 dx;


5

4 

2 x 1
b)  2 dx.

Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số
 x3  '
 x3
2
2 '
2
Ta có    x , (x2)' = 2x và   x   x  2 x.
8
 3

 3

∫ x dx, ∫ 2xdx và  x dx   2 xdx.
b) Tìm  ( x  2 x)dx.
c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao  ( x



a) Tìm



2

2

2



Trong trường hợp tổng quát, ta có:

10



•

  f ( x)  g ( x) dx  f ( x) dx   g ( x) dx;



•

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx.

2

 2 x)dx   x 2 dx   2 xdx.

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
4
a) f ( x)  3 cos x  ;
b) g(x) = (2x + 1)3.
x
Giải
4
1

a)   3 cos x   dx  3 cos x dx  4  dx  3 sin x  4 ln x  C ;
x
x

3
3
2
3
2
b)  (2 x  1) dx   (8 x  12 x  6 x  1)dx  8 x dx  12  x dx  6  x dx   1dx



=
2x4 + 4x3 + 3x2 + x + C.

 3
2 

Tìm:
a)

3
x

 dx ( x  0);

6
5 3
x 
Ví dụ 9. Trả lời câu hỏi trong

b)  3  1  dx.
  cos2 x sin 2 x 

(trang 6).
Giải

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây
kể từ khi vật bắt đầu rơi.
Vì a(t) = v'(t) nên
v (t) =  a (t ) dt   10 dt  10t  C .

Ta có

Vì v(0) = 0 nên 10 . 0 + C = 0 hay C = 0. Vậy v (t) = 10t (m/s).
Vì v(t) = s'(t) nên
2
s (t) =  v(t ) dt   10t dt  5t  C .

ta có

Vì s(0) = 0 nên 5 . 02 + C = 0 hay C = 0. Vậy s(t) = 5t2 (m).
Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.
Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10 m/s và đi được
quãng đường s(t) = 5t2 mét.
7

Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với
tốc độ v(t) = 19 – 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây,
2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

BÀI TẬP
1. Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xex, suy ra nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + 1)ex.
2. Tìm:
a)

5
∫ x dx;

b)

∫

1
3

x2

dx (x >0);

3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
4. Tìm:
a)  (2 x5  3) dx;

c) ∫ 7 x dx;

d)

3x
∫ 5x dx.

1

thoả mãn F    1.
2
sin x
2

 x 2
2 
 x 2
  dx; d)   e  2  dx.
b)  (5 cos x  3 sin x)dx; c)  
sin x 

 2 x
11

5. Tìm:
x
2
dx;
c) ∫ tan xdx; d) ∫ 23x . 3x dx.
2
6. Kí hiệu h (x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau
1
năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ h' (x) = (m/năm).
x
a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).
a)

 x(2 x  3) dx;
2

2
b) ∫ sin

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?
7. Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ v0 = 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi
a = 2 m/s2. Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Bài 2. Tích phân


Từ khoá: Hình thang cong; Tích phân; Cận tích phân; Biểu thức dưới dấu tích phân;

Hàm số dưới dấu tích phân.
Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s
thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe
thay đổi theo thời gian t (giây) được tính
theo công thức
v (t) = 20 – 5t (0 ≤ t ≤ 4).
Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô
đi được quãng đường bao nhiêu?

1. Diện tích hình thang cong
1






12

Cho hàm số y = f (x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x)
là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với
Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.
a) Tính S(3).
b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.
c) Tính S '(x) và so sánh với f (x). Từ đó suy ra S(x) là
một nguyên hàm của f (x) trên [1; +∞).
d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Chứng tỏ
rằng F(3) − F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3)
khi biết một nguyên hàm của f (x).

y
4
x+1

y=x+1

2

−1

S(x)

1
O

1
Hình 1

x3

x

Trong 1 , ta thấy diện tích S(3) có thể tính được thông qua một nguyên hàm bất kì của
hàm số y = f (x). Ta sẽ mở rộng kết quả này cho trường hợp diện tích hình thang cong.
Cho hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là
hình thang cong.
Ta sẽ đưa ra công thức tính diện tích S của hình thang cong này.
Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với
trục Ox tại các điểm có hoành độ là a và x. Ta được hàm số
S(x) xác định trên đoạn [a; b].
Tổng quát kết quả của

y

y = f (x)
S

S(x)
O

a

x
Hình 2

1 c, người ta chứng minh được rằng:

b

x

S(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [a; b].
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên [a; b]. Khi đó, tồn tại hằng số C sao cho
S(x) = F(x) + C. Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = −F(a).
Từ đó, S = S(b) = F(b) + C = F(b) − F(a).
Vậy ta có kết quả sau:
Nếu hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi
S = F(b) − F(a),
trong đó F(x) là một nguyên hàm của f (x).
Ví dụ 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f (x) = 2 − x2, trục hoành và hai đường
thẳng x = −1, x = 1 (Hình 3).
Giải
Hàm số y = f (x) = 2 − x2 liên tục, dương trên đoạn [−1; 1]

y

1 
1  10

S = F(1) − F(−1) =  2     2    .
3 3
3 

1 Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f(x) = ex, trục hoành, trục tung và đường
thẳng x = 1 (Hình 4).

y = 2 – x2

1
− 2

2

–1 O

x3
.
và có một nguyên hàm là F(x) = 2x −
3
Do đó, diện tích hình thang cong cần tìm là

2

x

1

Hình 3
y

y = ex

1
O

1

x

Hình 4

13

2. Khái niệm tích phân
2

Cho hàm số f (x) = 2x – 1. Lấy hai nguyên hàm tuỳ ý F (x) và G (x) của f (x), rồi tính
F(3) – F(0) và G(3) – G(0). Nhận xét về kết quả nhận được.

Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F (x) và G (x) là hai nguyên hàm của f (x)
trên đoạn [a; b]. Khi đó, G (x) = F (x) + C với hằng số C nào đó. Do đó,
G (b) – G (a) = F (b) + C – [(F(a) + C)] = F (b) – F (a).
Như vậy, hiệu số F (b) – F (a) không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm F(x) của f (x).
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn
[a; b] thì hiệu số F (b) – F (a) gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f (x), kí hiệu

b

∫ f ( x) dx.
a

b

Hiệu số F (b) – F (a) còn được kí hiệu là F ( x) a .
Vậy

b

 f ( x ) dx  F ( x )
a

b

∫

Ta gọi

b
a

= F (b) – F (a).

là dấu tích phân, a và b là cận tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f (x)dx là

a

biểu thức dưới dấu tích phân và f (x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý:
a) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước


a

b

a

a

a

b

 f ( x) dx  0 và  f ( x) dx    f ( x) dx.

b) Người ta chứng minh được rằng, tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b
mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là

b

b

a

a

 f ( x)dx   f (t )dt.

c) Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]
thì

y

y = f (x)

b

∫ f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn

S

a

bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b.
Vậy

b

S   f ( x)dx.
a

14

O

a

b
Hình 5

x

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
2

a)

∫ x dx;



2

1



e

1
b) ∫ dt ;
t
1



c)

 cos x dx.

2

Giải
2


2

e

1
x3
1
7
e
 (23  13 )  ; b)  dt  ln t 1  ln e  ln 1  1;
a)  x dx 
3 1 3
3
t
1
1
2

2



c)


2



2


2


 
  
cos xdx    cos xdx  (sin x) 2    sin  sin      2.

 2 
 2

2

2

Chú ý:
a) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm f '(x) và f '(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

f (b) – f (a) = ∫ f '( x) dx.
a

b) Ta đã biết rằng, đạo hàm của quãng đường di chuyển theo thời gian bằng tốc độ của
chuyển động tại mỗi thời điểm (v (t) = s'(t)). Do đó, nếu biết tốc độ v (t) tại mọi thời điểm
t ∈ [a; b] thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ a đến b
theo công thức
b

s = s (b) – s (a) = ∫ v(t ) dt.
a

Lưu ý: Tốc độ chuyển động v (t) luôn nhận giá trị không âm.
Ví dụ 3.
a) Tính quãng đường xe di chuyển từ khi hãm phanh đến khi dừng trong tình huống
ở
(trang 12).
b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó.
Giải
a) Xe dừng khi v (t) = 20 – 5t = 0 hay t = 4 (v (t) = 20 – 5t ≥ 0 với mọi t ∈ [0; 4]).
Từ đó, quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là


4


5t 2 
s   v (t ) dt   (20  5t ) dt   20t 
  40 (m).
2 0

0
0
4

4

b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó là:
s 40
vtb = =
= 10 (m/s).
4 4
Nhận xét: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó
giá trị trung bình của hàm số f (x) trên đoạn [a; b].

b

1
f ( x)dx được gọi là
b  a a

15

2

Tính các tích phân sau:


3

a) ∫ 2 x dx;

ln 2

b)  sin t dt ;



1



c)

∫ e du.
u

0

0

1 Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ
v (t) = 2t – 0,03t2 (0 ≤ t ≤ 10),
trong đó v (t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.
a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.
b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 10.

3. Tính chất của tích phân
Tính chất 1
2

3


5
a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x . Từ đó, tính I = ∫ 6 x dx.

5

0

2

b) Tính J =

∫ x dx.
5

0



c) Có nhận xét gì về giá trị của I và 6J?
3 , một cách tổng quát ta có:

Từ


Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], k là số thực. Khi đó:
b

b

a

a

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx.
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:

1
a) ∫ 2 dx ;
4x
1


2

2
dx;
b) 
2
 3 sin x

2



2



c)  2 x 3 dx .
0

4

Giải
2

1
1 2
1 1 1 2
1 1
11  1
1 4 x 2 dx  4 1 x dx  4  1 x 1   4  x 1   4  2  1  8 ;
2

a)

2


2


2

4

4


2

 2
2
2
2
1
2
dx    2 dx   ( cot x) 2   cot  cot   (0  1)   ;
b) 
2
3
2
4 3
3
3  sin x
3
 3 sin x
4

2

c)  2
0

16

2

2x
8
24
dx   2 . 2 dx  8 2 dx  8 

(4  1) 
.
ln 2 0 ln 2
ln 2
0
0
2

x 3

2

x

3

x

Tính các tích phân sau:

3

1

3
dx;
b) 
10
x
2

1

a)

 4 x dx;
7

1

5 x 1
dx.
c) 
2
0
2



Tính chất 2
1

2
x
a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x + e . Từ đó, tính  ( x  e )dx.

2

4

1



b) Tính

0

1

 x dx   e dx.
x

2

0



x

0

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?
Từ

4 , một cách tổng quát ta có:



Cho hai hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
b

b

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx;



  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx.



Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:


3

 1
3 

b)  
 dx.
2
sin 2 x 
  cos x

2

a)

2
 (3x  8 x) dx;



1

Giải
a)

2

2

1

1

2

4

2

2

1

1

2
2
2
 (3x  8 x) dx   3x dx   8 x dx  3  x dx  8  x dx
1

2



2

 x3 
 x2 
 3.    8.   = [23 – (–1)3] – 4[22 – (–1)2] = –3;
 3  1
 2  1


3





4

4

4



3
3
 1
3 
1
1
3
3
3
3

d
x





d
x
d
x
(tan
x
)
(
cot
x
)
b)  



2
2
2
2


sin x 
  cos x
 cos x
 sin x
4
4







  tan  tan   3  cot  cot 
3
4
3
4



 1
  3  1  3 
 1  2 3  2.
 3 

17

Ví dụ 6. Tại một nhà máy, gọi C(x) là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất x tấn
sản phẩm A trong một tháng. Khi đó, đạo hàm C '(x), gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ
gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên
(tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức
C '(x) = 5 – 0,06x + 0,00072x 2 với 0 ≤ x ≤ 150.
Biết rằng C(0) = 30 triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy
sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng.
Ta có:

Giải
100

C(100) – C(0) =

∫

100

C '( x)dx 

0
100



 (5  0, 06 x  0, 00072 x )dx
2

0
100

100

 5  dx  0, 06  x dx  0, 00072  x 2 dx
0

 5 x 0  0, 03 x
100

0
2 100
0

 0, 00024 x

0
3 100
0

= 440.

Suy ra C(100) = C(0) + 440 = 30 + 440 = 470 (triệu đồng).
Vậy khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng thì tổng chi phí là 470 triệu đồng.
4

Tính các tích phân sau:


x 1
1 x 2 dx;

x
b)  (1  2 sin 2 ) dx;
2
0

2

a)

c)

1

1

2

2

2
2
 ( x  2) dx   (4 x  x ) dx.

2 Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng)
thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P '(x), gọi là
lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử
lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức
P '(x) = 16 – 0,02x với 0 ≤ x ≤ 100.


Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy
lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Tính chất 3
5

Cho hàm số f (x) = 2x. Tính và so sánh kết quả:
2



∫ f ( x) dx
0

và

1

2

0

1

 f ( x) dx   f ( x) dx.

Trong trường hợp tổng quát, ta có:


Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], c ∈ (a; b). Khi đó,



18

b

c

b

a

a

c

 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx.


4


2

0


4

Ví dụ 7. Tính  ( sin x  cos x) dx   ( sin x  cos x) dx.
Giải

4


2


2

0


4

0

 ( sin x  cos x) dx   ( sin x  cos x) dx   ( sin x  cos x) dx

2


2

0

0

  sin x dx   cos x dx




 ( cos x)


2
0

 (sin x)


2
0

= – (0 – 1) + (1 – 0) = 2.

3

2
Ví dụ 8. Tính  | x  2 x | dx.
0

Giải

 ( x 2  2 x), 0  x  2
Ta có: | x  2 x |  
2
 x  2 x , 2  x  3.
2

3

2

3

2
Do đó,  | x  2 x | dx   | x  2 x | dx   | x  2 x | dx
2

2

0

0

2

2

3

 x3
  x3

8
  ( x  2 x) dx   ( x  2 x) dx     x 2     x 2   .
 3
0  3
2 3
0
2
2

3

2

5

2

Tính:
a)

1
2

1
2

1

1

3
3
 (4 x  5) dx   (4 x  5) dx;

3



0

0

b)  | x  1 | dx; c)  | cos x | dx.

3 Biết rằng tốc độ v (km/phút) của một ca nô
cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau:


0, 5t , 0  t  2,


v (t )  
1, 2  t  15,
4  0, 2t , 15  t  20.


Tính quãng đường ca nô di chuyển được
trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Hình 6

19

BÀI TẬP
1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (Hình 7);
b) Đồ thị hàm số y =

1
, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (Hình 8).
x

y
4

y

y = x2

O

y=

1

2

O

x

1

Hình 7
2

a)

2

∫ x dx;

b)

1

∫
1

1
dx;
x


4

1
c) 
dx;
cos 2 x
0

3. Tính các tích phân sau:
2

x  2x 1
1 x dx;

1

4

4

a)

 ( x  1)( x  1) dx;

2

b)

2


2

c)  (3 sin x  2) dx;

 | 2 x  2 | dx;

2

x

b)  | x 2  4 | dx;
0

2

d) ∫ 3x dx.
0

d)

0

4. Tính các tích phân sau:
a)

3
Hình 8

2. Tính các tích phân sau:
4

1
x

c)


2

sin 2 x
0 1  cos x dx .


2

 | sin x | dx.


đổi màu khác
màu đen


2

5. Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên
như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150 oC. Biết rằng
nhiệt độ T (oC) tại điểm A trên thành ống là hàm số của
khoảng cách x (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và
30
(6 ≤ x ≤ 8).
T '(x) = –
x
(Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer,
Mc Graw Hill, 2015)
Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

A
6 cm

x cm

8 cm

Hình 9

6. Tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t (giây)
được cho bởi công thức:


t , 0  t  2,


v(t )  
2, 2  t  20,
12  0, 5t , 20  t  24.


Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.
20

Bài 3. Ứng dụng hình học của

tích phân



Từ khoá: Khối tròn xoay.
Ta đã biết công thức tính thể tích của hình cầu
bán kính R là

4 πR 3
V=
.
3

R

Làm thế nào để tìm ra công thức đó?

1. Tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

S1
O

∫ f ( x) dx.

x

∫ f ( x) dx.
5

b) Tính S2 và so sánh với

x=5

–2

3

a) Tính S1 và so sánh với

0



6
=6



y

d: y

Gọi d là đồ thị của hàm số f (x) = 6 – 2x. Kí hiệu
1
S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành
và trục tung; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d,
trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).

3

S2

5

x

3



c) So sánh

5

∫

–4

f ( x) dx với S1 + S2.

Hình 1

0

Ta đã biết, nếu hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được
b

tính bởi S   f ( x)dx.
a

Một cách tổng quát, ta có kết quả sau:
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi
công thức:
b

S   | f ( x) | dx.
a

21

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x2 – 4x + 3,
trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.
Giải
3

Diện tích cần tìm là S   x 2  4 x  3 d x.
0

Ta có: x – 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.
2

Với x ∈ [0; 1] thì f (x) ≥ 0. Với x ∈ [1; 3] thì f (x) ≤ 0.

y

y = x2 – 4x + 3

3

Vậy S   x  4 x  3 dxx
2

3

0

1

3

0

1

S   ( x 2  4 x  3) dx   [( x 2  4 x  3)] dx
1

S

3

 x3
  x3

8
2
   2 x  3x     2 x 2  3x   .
 3
0  3
1 3

O

3

1

x

Hình 2

Chú ý: Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b].
Nếu f (x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì
b

b

a

a

 | f ( x ) | dx   f ( x ) d x .



Nếu phương trình f (x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (a; b) thì công thức trên vẫn đúng.
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sin x, trục hoành
và hai đường thẳng x = 0, x = 3π.
Giải
3

Diện tích cần tìm là S 



sin x d x.

y
1

π

0

Trên khoảng (0; 3π), phương trình sin x = 0 O
–1
chỉ có hai nghiệm là x = π và x = 2π.
3



2

3



2

2π

3π

Hình 3

Vậy S   | sin x | dx   | sin x | dx   | sin x | dx   | sin x | dx
0

0



2

3

0



2

  sin x dx 


22

 sin x dx   sin x dx



2

3

 ( cos x) 0  ( cos x)   ( cos x) 2 

= |2| + |–2| + |2| = 6.

1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x2, trục hoành và
hai đường thẳng x = 0, x = 3.

2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x – 2, trục hoành và
hai đường thẳng x = 0, x = π.

x

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
y

Cho hai hàm số y = 4x – x2 và y = x lần lượt có đồ thị
2
(P) và d như Hình 4.


a) Tính diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi (P),
trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.



b) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P), d
và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Cho hai hàm số y = f1 (x) và y = f2 (x) liên tục trên đoạn [a; b].
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hai hàm số trên và hai đường thẳng x = a, x = b.
Xét trường hợp f1 (x) ≥ f2 (x) với mọi x ∈ [a; b]. Kí hiệu
S1, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành,
hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hàm số
y = f1 (x), y = f2 (x) tương ứng. Khi đó,
b

b

b

S  S1  S 2   f1 ( x) dx   f 2 ( x) dx   [f1 ( x)  f 2 ( x)]dx.
a

a

4

x=2
d

(P)

Bổ sung
dấu
chấm

S
O

4 x

2
Hình 4

y

y = f1 (x)
S
y = f2 (x)

O

a

b

x

Hình 5

a

Trong trường hợp tổng quát, ta có kết quả sau:
Cho hai hàm số y = f1 (x), y = f2 (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1 (x), y = f2 (x) và hai đường thẳng x = a, x = b
được tính bởi công thức:
b

S   f1 ( x)  f 2 ( x) dx.



a

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x2, y = 2 – x
và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Giải
Diện tích cần tìm là
2

2

S   | x  (2  x) | dx   | x 2  x  2 | dx.

y

2

0

Ta có x + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = –2.

2
–
x

1

2

Vậy S   | x  x  2 | dx   | x 2  x  2 | dx
2

0

2

x=2

1

1



4

y=

0

2

y = x2

2

  ( x  x  2) dx   ( x 2  x  2) dx
2

0

O

1

1

2

 x3 x 2

 x3 x 2

7 11
    2x      2x    
 3.
6
6
 3 2
0  3 2
1

1 2
Hình 6

x

23

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x3 – 3x, y = x và
hai đường thẳng x = −1, x = 3.
Giải
3



Diện tích cần tìm là S 

3

x 3  3 x  x dx 

1

x

3

 4 x dx.

1

Ta có x – 4x = 0 ⇔ x(x – 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −2 hoặc x = 2.
3

2

Phương trình chỉ có hai nghiệm thuộc đoạn [−1; 3] là x = 0 và x = 2.
3

Vậy S 



0

x 3  4 x dx 

1





2

3

0

2

x3  4 x dx   x3  4 x dx   x 3  4 x dx

1

0

2

3

1

0

2

3
3
3
 (x  4 x)dx   (x  4 x)dx   ( x  4 x)dx

0

2

3

 x4
 x4
 x4

7
25
2
2
   2 x     2 x     2 x 2    | 4 | 
 12.
4
4
 4
 1  4
0  4
2
3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai
hàm số y = x2 – 2x – 1, y = x – 1 và hai đườ...